******************* Cálculo alternativo del q_Min **********************

Fig SGT-1

Se desea deducir una expresión para el ángulo q (igual a P’OP en la figura SGT-1). Dicho q es el ángulo que caracteriza el punto límite P del círculo de evaluación a partir del cual los eterinos que se dirigen desde P al cuerpo B dejan de ser apantallados por A.

Se necesita previamente hallar el ángulo AO’A’ cuando:

- La recta A’B’ es tangente "interna" a los cuerpos A y B.

- La recta A’B’ corta a la recta AB (coincidente con el eje X) en O’.

Resulta que los triángulos O’AA’ y O’BB’ son semejantes por lo que:

[SGT-1]               O’A/O’B = AA’/BB’ º r_A/r_B

y puesto que:

[SGT-2]            O’B+O’A º AB º x_A-x_B

se puede deducir una expresión de O’A en función de los parámetros del problema:

[SGT-3]           O’A = x_A-x_B - O’B = x_A-x_B - O’A r_B/r_A       =>

         O’A (1+r_B/r_A) = x_A-x_B          =>

         O’A = (x_A-x_B)/ (1+r_B/r_A)

y por tanto el seno del ángulo a_i que la recta B’A’ (tangente interna) forma con el eje X es:

[SGT-4] Sin [a_i] = AA’/O’A = r_A (1+r_B/r_A)/(x_A-x_B)

Conocidos a_f , O’O, y el radio r del círculo de evaluación puede ahora hallarse el ángulo límite q asociado a esa tangente A’B’. Por ejemplo así:

[SGT-5] r Sin [q] = PP’ = Tan [a_i] (O’O+OP’)

pero haciendo en [SGT-5] las 3 sustituciones siguientes:

O’O = O’A - x_A = AA’/ Sin [a_i] - x_A = r_A/ Sin [a_i] - x_A

OP’ = r Cos [q]

Tan[a_i] = Sin [a_i] /(1- Sin²[a_i])^1/2

y llamando para simplificar s = Sin[a_i], la igualdad [SGT-5] se puede escribir:

[SGT-9]

que permite despejar q en función de los parámetros conocidos s, r, x_A o más exactamente (teniendo en cuenta el significado de s) en función de los parámetros conocidos r, r_A , r_B , x_A , x_B

Nota: Mathematica 5.1 (de Wolfram Research) da como soluciones de [SGT-9] las 4 siguientes:

**********************************************************